Programmierung von CAx-Systemen

David Straub

Gliederung

1. Einführung
2. Topologie
3. Grundformen
4. Kurven
5. Freiformgeometrie
6. Profile
7. Codequalität
8. Datenaustausch
9. Robustheit
10. Simulation
11. Optimierung

Optimierung

• Designvariablen, Zielfunktion, Nebenbedingungen
• Strafterme statt harter Nebenbedingungen
• Ableitungsfreie Verfahren (Nelder-Mead, Differential Evolution)
• Was in die Schleife gehört: Kernel-Abfragen ja, feine FEM nein

Durchgängiges Beispiel: die Verspannung so leicht wie möglich – jedes Gramm Struktur senkt die Energiedichte

Rückblick: validiertes Modell, offene Frage

Einheit 10 hat ein validiertes Durchbiegungsmodell geliefert: FEM ≈ Euler-Bernoulli auf 1 %.

Der Startbalken (b = 20, h = 8 mm) wiegt 151 g und biegt sich 0,64 mm – die Durchbiegungsgrenze liegt bei 0,5 mm. Also:

• Er ist zu weich – und vielleicht schwerer als nötig
• Heute: die leichteste Struktur finden, die die Grenze gerade hält

Theorie A: Das Optimierungsproblem

Drei Bestandteile

$$\min_{\mathbf{x}} \; f(\mathbf{x}) \quad \text{s.t.} \quad g_i(\mathbf{x}) \le 0, \quad x_j^\text{lb} \le x_j \le x_j^\text{ub}$$

Die Zielfunktion für scipy

scipy.optimize ruft die Funktion immer gleich auf: ein Array rein, ein Skalar raus.

import numpy as np

def ziel(x: np.ndarray) -> float:
    b, h = x
    ...
    return masse   # ein zu minimierender float

• x ist ein NumPy-Array – der Optimierer kennt keine Variablennamen
• Rückgabe ist ein Skalar, nie ein Array, nie None
• Die Funktion darf nicht werfen – Fehler mit return float("inf") melden

Nebenbedingung als Strafterm

Statt harter Nebenbedingungen bestraft man Verletzungen im Zielwert:

$$f_\text{pen}(\mathbf{x}) = f(\mathbf{x}) + \sum_i \rho_i \, \max\bigl(0,\; g_i(\mathbf{x})\bigr)^2$$

strafe = max(0, delta - DELTA_MAX)**2 * 1e3 \
       + max(0, sigma - SIGMA_MAX)**2 * 1e-2
return masse + strafe

• Innerhalb der Grenze: Strafe 0, es zählt nur die Masse
• Darüber: quadratisch wachsend – der Optimierer wird zur Grenze zurückgedrängt
• rho muss zur Skala passen (mm gegen MPa → verschiedene Faktoren)

Eine quadratische Strafe landet nie exakt auf der Grenze – sie lässt eine Restverletzung, die mit rho schrumpft:

Zu kleines rho → das „Optimum" reißt die Grenze spürbar. Groß genug wählen und am Ende prüfen.

Praktikum A: die Zielfunktion

Aufgabe 1: Kennwerte

Schreiben Sie kennwerte(b, h), das für den Balken (L = 120 mm, Stahl, F = 200 N) drei Werte liefert:

• Durchbiegung $\delta = \dfrac{FL^3}{3EI}$ mit $I = \dfrac{b\,h^3}{12}$ (Formel, in Einheit 10 gegen FEM validiert)
• Wurzel-Biegespannung $\sigma = \dfrac{6FL}{b\,h^2}$ (Formel)
• Masse aus dem Modell: cf.box(120, b, h).Volume() * rho, $\rho = 7{,}85 \cdot 10^{-6}$ kg/mm³

Die Masse kommt aus dem Kernel, nicht aus einer Formel. Beim Quader ist beides gleich – aber sobald das Teil Erleichterungsbohrungen bekommt, gibt es keine geschlossene Formel mehr, .Volume() liefert trotzdem.

Hinweise: .Volume() kostet Millisekunden – das darf in der Schleife stehen

Aufgabe 2: Ziel mit Strafterm

Schreiben Sie ziel(x) für scipy.optimize: Eingabe ein Array [b, h], Rückgabe die Masse plus Strafterme für verletzte Grenzen ($\delta_\text{max} = 0{,}5$ mm, $\sigma_\text{max} = 200$ MPa).

Prüfen: Was gibt ziel([20, 8]) – hält der Startbalken beide Grenzen?

Hinweise: quadratischer Strafterm max(0, wert - grenze)**2 * rho; die Faktoren müssen zur Skala passen (mm gegen MPa)

Theorie B: Verfahren und aktive Nebenbedingung

Ableitungsfreie Verfahren

CAD-Ziele sind oft verrauscht (Toleranzen) oder unstetig (Booleans, Kernel-Fehler) – ableitungsfreie Verfahren kommen damit klar. Gradientenverfahren stolpern über das inf im Fehlerfall.

scipy.optimize

from scipy.optimize import differential_evolution

bounds = [(10, 40), (4, 20)]          # [b, h] in mm
res = differential_evolution(ziel, bounds, seed=42, tol=1e-8)

b, h = res.x
print(f"b={b:.1f}  h={h:.1f}  {kennwerte(b, h)[2]*1000:.0f} g")

• DE braucht keinen Startwert – es erkundet den ganzen bounds-Raum
• Preis: viele Auswertungen (hier ~1900) – deshalb die Zielfunktion billig halten
• rechts: die beste Masse fällt in ~15 Iterationen von 129 g auf 103 g

Was in die Schleife gehört: die Kostenhierarchie

DE wertet ~1900 mal aus. Was die Zielfunktion pro Aufruf kostet, entscheidet, ob das Sekunden oder Stunden dauert:

Kernel-Abfragen sind billig genug für die Schleife – nur ein feiner FEM-Solve sprengt sie. Und man steuert die Kosten: ein gröberes Netz war hier fast gleich genau (Einheit 10: lc 4 → 6 kaum Unterschied).

Welches Modell wofür?

• Geschlossene Formel vorhanden (unser Balken): auf dem billigen, in Einheit 10 validierten Surrogat optimieren, FEM einmal am Ende zur Kontrolle.
• Keine Formel (reale Geometrie mit Taschen, Kontakt): FEM in der Schleife – Netz grob halten, Budget klein, Ergebnis validieren. Das ist kein Widerspruch, nur eine andere Stelle auf derselben Kostenachse.

Nie in Absoluten: „FEM geht nicht in der Schleife" ist falsch. Es kostet – so wenig oder viel, wie Netz und Budget es machen.

Das Ergebnis: welche Grenze hält?

b = 10,0 mm   h = 11,0 mm   103 g  (Start 151 g, −31 %)
Durchbiegung  0,50 / 0,50 mm  → 100 %
Spannung      120 / 200 MPa   →  60 %

Eine Nebenbedingung heißt aktiv, wenn sie am Optimum genau erfüllt ist (100 %) und es begrenzt.

• Aktiv ist die Durchbiegung (rote Linie), nicht die Spannung – der Balken ist steifigkeits-, nicht festigkeitsgetrieben
• Das Optimum sitzt auf der roten Grenze, wo sie die niedrigste Massenlinie berührt
• b läuft an die untere Schranke: für Biegung ist schmal-und-hoch masseeffizienter ($I \propto h^3$)

Praktikum B: optimieren und interpretieren

Aufgabe 3: Optimierung ausführen

1. Führen Sie differential_evolution mit den Bounds aus.
2. Wiederholen Sie es mit minimize(ziel, x0=[20, 8], method="Nelder-Mead") – gleiches Optimum?

Aufgabe 4: aktive Nebenbedingung und Energiedichte

1. Welche Nebenbedingung ist am Optimum aktiv (bei 100 %)? Welche hat Luft?
2. Wie viel Strukturmasse spart das Optimum – und was heißt das für die Wh/kg des Moduls?

Aufgabe 5 (Zusatz): gegen die FEM prüfen

Rechnen Sie eine FEM (Einheit 10) mit dem optimalen $b, h$. Trifft die Durchbiegung die 0,5 mm, die die analytische Optimierung versprochen hat?

Abschluss

Leseauftrag & Ausblick

• Leseauftrag: Buch Kapitel 12
• Wer mehr will: eine dritte Variable (Zuganker-Abstand $L$) aufnehmen – wandert die aktive Nebenbedingung?
• Nächste Woche: Parameterstudie und Ergebnis-Schau – Zellformat und Kapazität gegen Masse und Energiedichte; Ihr Modul im Vergleich
• Bis dahin: w11/ (Optimierung + FEM-Kontrolle) committet und gepusht